# NNA紧凑双射性证明

## 证明目标
所谓的**紧凑双射性**，就是在说NNA**在自然数集内无重复且连续，并在0开始**。

## 证明方法
取最值，数学归纳。

## 证明
### 最小值和最大值
对于任意$l$恒定的NNA，**最小值$N_{min}=\frac{L^l-1}{L-1}$，最大值$N_{max}=\frac{L^{l+1}-1}{L-1}-1$**。
如果把NNA的每一位的含义分为互相独立的函数$(n_i+1)L^i$，那么我们就会发现，因为$L$,$i$为正整数且是常数，$L^i$也就是常数。所以随着$n_i$的增大，$n_i+1$也会增大，整个函数值也会增大。其实这就是个斜率为正的一次函数，**整个函数在定义域内单调递增**。考虑$n_i$的取值范围，即$[0, L)$内的所有自然数组成的集合。代入边界情况，**这一位的最小值就是$L^i$，最大值就是$L^{i+1}$**。
那么整个NNA的最小值和最大值呢？每一位的含义都是独立的，那么**最大值就是每一位的最大值之和，最小值就是每一位的最小值之和**。我们发现我们可以把这一步看作**等比数列求和**问题，那么就直接套用求和公式，整理后得出结果。
### 不同长度下的连续性
#### $l=0$时
当$l=0$时，$N$的最小值$N_{min}=0$，$N$的最大值$N_{max}=0$。
#### $l=1$时
当$l=1$时，$N$的最小值$N_{min}=1$，$N$的最大值$N_{max}=L$。
#### $l=2$时
当$l=2$时，$N$的最小值$N_{min}=L+1$，$N$的最大值$N_{max}=L^2+L$。
不难发现，**$l+1$长度的最小NNA的值等于$l$长度的最大NNA的值加一**。我们可以直接将两个公式代入相减即可证明：
$$
\frac{L^{i+1}-1}{L-1}-(\frac{L^{i+1}-1}{L-1}-1)=1
$$
这说明了**相邻长度的NNA的取值范围之间在自然数集内是连续的**。
### 内部连续性
**$l$恒定的NNA的所有取值之间都在自然数集内连续**。这一点我就不证明了啊，和传统大数的证明思路是一样的。
### 数学归纳
我们已经证明了三个命题：
- NNA最小值为0。
- 相同长度的NNA在自然数集内是连续的。
- 相邻长度的NNA在自然数集内是连续的。
我们就此可以证明紧凑双射性了。
最后的结论是：**NNA的值域是全体自然数集**。
