浮點運算

浮點數 (floating point) 是電腦用來表示實數的方式。浮點數不是實數，只能近似實數。這產生種種問題。因此，如果你是位工作上需要處理浮點數的工程師，務必閱讀以下文件：

• David Goldberg 的 What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic

Forth 提供浮點運算能力，浮點運算類似整數運算，但有以下不同，

• 輸入浮點數必須有字母 e。字母 e 後的整數代表 10 的指數。若沒有整數，指數為 0。所以 1e 是 1.0 × 10⁰ 也就是 1.0。2e3 是 2.0 × 10³ 也就是 2000.0 。 以下都是正確的浮點輸入：1e 1.e 1.e0 +1.23e-1 -1.23e+1。
• 四則運算指令以 f 開頭。比如 f+、f-、f*、f/。
• 沒有和 mod 及 /mod 對應的指令，但有求次方的指令 f**，以及求平方根的 fsqrt。
• 資料堆疊放的是整數，浮點數放在另一個浮點堆疊 (floating point stack) 上。
• 浮點數的堆疊效果表示法是 ( F: before -- after )。

讓我們測試一下。

例一：輸入 1e 1.e 1.e0 +1.23e-1 -1.23e+1 並以 f. 印出來。

rf> 1e f.  1.e f.  1.e0 f.  +1.23e-1 f.  -1.23e+1 f.
1.0000000 1.0000000 1.0000000 0.1230000 -12.3000000  ok

例二：以浮點計算 7 + (6 × 5² + 3)

rf> 5e 2e f**  6e f*  3e f+  7e f+  f.
160.0000000  ok

例三：以浮點計算 1 / (3²)

rf> 1e  3e 2e f**  f/  f.
0.1111111  ok

例四：計算 2.0 的平方根。

rf> 2e fsqrt  f.
1.4142136  ok

浮點數不是實數

浮點數不是實數，只是近似實數。它能表示的實數範圍有限。精確度也有限。以下以例子呈現幾個浮點數的問題。以及當浮點數運算遇到 0/0 、 1/0 或是對負數開根號時的處理方式。這些例子在 64 位元的 rtforth 上測試。不同的電腦及不同的 Forth 會有不同的結果。

例五：計算 10¹⁰、 10¹⁰⁰ 及 10¹⁰⁰⁰

rf> 1e10 f.
10000000000.0000000  ok
rf> 1e100 f.
10000000000000002101697803323328251387822715387464188032188166609887360023982790799717755191065313280.0000000  ok
rf> 1e1000 f.
inf  ok

從例子中可以看出，電腦無法正確表示 10¹⁰⁰ 次方，只能用一個近似的數字來表示。正確表示的就只有前面 16 位數。而遇到 10¹⁰⁰⁰時，電腦干脆以無限大 (inf) 來表示。

例六：計算 10¹⁰⁰ + 1。

rf> 1e100 1e f+ f.
10000000000000002101697803323328251387822715387464188032188166609887360023982790799717755191065313280.0000000  ok

從例子中可以看出計算 10¹⁰⁰ + 1 和計算 10¹⁰⁰ 結果相同。將一個很大的數字加上相對來說很小的數字時，很小的數字常被忽略不計。如果我們將 10¹⁰⁰ 加 1，連加 10¹⁰⁰ 次，照理應得到 2 × 10¹⁰⁰。但結果還是 10¹⁰⁰。也就是說，原本還有 16 位數有效位數，只剩 0 位數有效位數。

因此，為了計算的精確度，維持足夠的有效位數，當要將一群大小懸殊的數字相加時，應先加數值較小的數，再加數值大的數。 1 + 10 + 100 + 1000 + ... + 10¹⁰⁰ 會比 10¹⁰⁰ + 10⁹⁹ + ... + 10 + 1 精確得多。

例七：計算 -2.0 的平方根、 0.0 / 0.0 以及 1.0 / 0.0 。

rf> -2e fsqrt f.
NaN  ok
rf> 0e 0e f/ f.
NaN  ok
rf> 1e 0e f/ f.
inf  ok

1.0/0.0 得到無限大 (infinity)。但是 0.0/0.0 或是 1.0/0.0 會得到 NaN (Not a Number)。NaN 有個很重要的特性，對它進行的幾乎所有的算術運算都會得到 NaN。這簡化了浮點運算錯誤的處理，程式不必對每個有可能出錯的運算進行檢查，只需要檢查最後的結果，就知道是否有某浮點運算出錯。

例八：求 (1.0 / 0.0) × 0.0

rf> 1e 0e f/  0e f*  f.
NaN  ok

顯然，無限大乘以 0 會得到 NaN。同樣，無限大減無限大、無限大除以無限大都會得到 NaN。

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更多的浮點算術指令

如同整數，Forth 提供了類似 abs 、 negate 、 max 、 min 的 fabs 、 fnegate 、 fmax 、 fmin 。

另外，因浮點數的特性，還提供了對浮點數行四捨五入的 fround、求小於等於浮點數的最大整數的 floor 及求大於等於浮點數的最小整數的 fceil 。這三個指令雖說是求整數，但結果仍以浮點數表示。

注意 fceil 指令不是 FORTH 標準 中的指令，但存在於某些 Forth 系統中 (包括 rtForth)。

練習一下，

例九：100.0 / 9.0 後四捨五入。

rf> 100e 9e f/  fround  f.
11.0000000  ok

例十：請問 3.5 介於哪兩個整數之間？

rf> 3.5e floor f.  3.5e fceil f.
3.0000000 4.0000000  ok

例十一：(29 / 4.05) 和 7 哪一個比較大？

rf> 29e 4.05e f/  7e fmax  f.
7.1604938  ok

例十二：求中位法 -ａbs(3.2 - 1.7) 和 -1.4 的最小值。

rf> 3.2e 1.7e f-  fabs  fnegate  -1.4e fmin  f.
-1.5000000  ok

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整數和浮點數轉換

Forth 提供整數和浮點數的轉換指令。當浮點數轉成整數時，小數部份會被向零捨去 。

例十三：將 2.9 及 -2.9 轉成整數。

rf> 2.9e f>s .  -2.9e f>s .
2 -2  ok

例十四：將整數 2 和 3 轉成浮點數後相除。

rf> 2 s>f  3 s>f  f/  f.
0.6666667  ok

三角函數

Forth 提供了三角函數的指令集。這在處理幾何問題時非常有用。不過使用時要注意其定義域和值域的範圍。

例十五：驗證 sin(π / 2) = 1。

rf> pi 2e f/  fsin  f.
1.0000000  ok

例十六：驗證 sin(1)² + cos(1)² = 1。

rf> 1e fsin 2e f**  1e fcos 2e f**  f+  f.
1.0000000  ok

例十七：求 tan(45°)。

rf> pi 4e f/  ftan  f.
1.0000000  ok

例十八：求 sin^-1(sin(π)) 和 sin^-1(sin(-π/2)) 。

rf> pi fsin  fasin  f.
0.0000000  ok
rf> pi fnegate 2e f/  fsin  fasin  f.
-1.5707963  ok

fasin 的值域是 -π/2 - π/2，因此 sin^-1(sin(π)) 無法得到 π。

例十九：求 cos^-1(cos(π)) 和 cos^-1(cos(-π)) 。

rf> pi fcos  facos  f.
3.1415927  ok
rf> pi fnegate  fcos  facos  f.
3.1415927  ok

facos 的值域是 0 - π，因此 cos^-1(cos(-π)) 無法得到 -π。

例二十：驗證 4*atan(1) = π。

rf> 1e fatan  4e f*  f.
3.1415927  ok

fasin 、 facos 、 fatan 的值域都無法涵蓋整個 360° 的範圍。 fatan2 則可以從一個二維向量得到角度。而和它對應的 fsincos 則可以從一個角度得到一個二維單位向量。

例二十一：求向量 (1, 0) 、 (0, -1) 與 x 軸之夾角。注意 fatan2 的堆疊效應是 ( y x -- θ ) 。

rf> 0e 1e fatan2  f.
0.0000000  ok
rf> -1e 0e fatan2  f.
-1.5707963  ok

例二十二：求對應弳度 0 和 -1.5707963 的二維單位向量。注意 fsincos 的堆疊效應是 ( θ -- sinθ cosθ ) 。

rf> 0e fsincos f. f.
1.0000000 0.0000000  ok
rf> -1.5707963e fsincos f. f.
0.0000000 -1.0000000  ok

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本章重點整理

• 浮點數 (floating point)
• 無限大 (infinity)
• NaN (Not a Number)

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